Mathématiques

 

 

Les nombres palindromes

1.- Définition. Un nombre est dit palindrome si, écrit dans une certaine base a, il peut être lu aussi bien de gauche à droite que  de droite à gauche. Dans ce qui suivra, on utilisera uniquement la base usuelle a = 10.

Voici, à titre d’exemple, quelques nombres palindromes :

737

28'082

4'554

321'123

Cela dit, tout nombre écrit avec t chiffres se présente comme il suit [n = t – 1] :

cn · 10n + c n-1 · 10n-1  + cn-2  ·10n-2  + … + c1 · 10 + c0

Pour n = 2 m, donc si le nombre s’écrit avec t = n + 1 chiffres et compte un nombre impair de chiffres, il sera palindrome si :
1 ≤ c0 = cn  ≤ 9
0 ≤ c1 = cn-1  ≤ 9

0 ≤ cm-1 = cm+1  ≤ 9
0 ≤ cm ≤ 9

Exemple pour 28’082
n = 4 ; m = 2
28'082 s’écrit avec t = n + 1 = 5 chiffres

1 ≤ c0 = c4  = 2 ≤ 9
0 ≤ c1 = c3 = 8  ≤ 9
0 ≤ c2 = 0  ≤ 9

Pour n = 2 m+ 1, donc si le nombre s’écrit avec t = n + 1 chiffres, et compte un nombre pair de chiffres, il sera palindrome si :

1 ≤ c0 = cn  ≤ 9
0 ≤ c1 = cn-1  ≤ 9

0 ≤ cm = cm+1  ≤ 9

Exemple pour 321’123
n = 5 ; m = 2
321'123 s’écrit avec t = n + 1 = 6 chiffres

1 ≤ c0 = c5  = 3 ≤ 9
0 ≤ c1 = c4 = 2  ≤ 9
0 ≤ c2 = c3 = 1  ≤ 9

A remarquer : c0 ne peut jamais être égal à 0. Cela entrainerait en effet cn = 0, ce qui entrainerait à son tour que le nombre en question compte seulement n chiffres et non  n  + 1.

2.- Dénombrement des nombres palindromes. Sur la base de ce qui précède, on peut calculer le nombre de nombres palindromes présents dans une tranche de nombres consécutifs. En récapitulant les résultats dans un tableau, on obtient :

Nombres

 

 

 

 

de

à

t = n + 1

m

Nt

Pt

10

99

2

1

90

9

100

999

3

1

900

90

1'000

9'999

4

2

9'000

90

10'000

99'999

5

2

90'000

900

100'000

99999

6

3

900'000

900

10t-1

10t-1

 

 

9 · 10t-1

9 · 10t-m—1

Nt Total de tous les nombres

Pt Total des nombres palindromes

On remarque le rapport Pt / Nt diminue lorsque t augmente. On peut donc parler d’une raréfaction des nombres palindromes.
=
Numériquement il vient :   

P2 / N2 = P3 / N3 = 10 %
P4 / N4 = P5 / N5 = 1% 
                                               …

Ainsi le nombre des nombres palindromes inférieurs à 10'000 est le total suivant :

Nombres palindromes s’écrivant avec 1 chiffre :
10*
Nombres palindromes s’écrivant avec 2 chiffres :
9
Nombres palindromes s’écrivant avec 3 chiffres :
90
Nombres palindromes s’écrivant avec 4 chiffres :
90
Total = nombres palindromes < 10'000
199

 

* Tous les nombres s’écrivant avec un seul chiffre sont évidemment palindromes, y compris le nombre 0.

3.- Catégories de nombres palindromes.Considérons maintenant le nombre palindrome

Pt = 99…..9
avec
c0 = c1 = c2 = … = cn-1= cn = 9

Ce nombre palindrome est donc écrit à l’aide du seul chiffre 9, répété t = n  + 1 fois.

On voit facilement que Pt est le plus grand nombre palindrome écrit avec t chiffres et que

Pt + 2 = 1000…0001
0 répété t - 1 fois

est le plus petit nombre palindrome écrit avec t + 1 chiffres.  

Exemples

9 + 2 = 11
99 + 2 = 101
999 + 2 = 1’001
9'999  + 2  = 10’001

Répartissons maintenant les nombres palindromes écrits avec t chiffres en trois catégories, soit :

1ère catégorie : elle ne comprend que le seul nombre Pt :
2e catégorie : elle comprend les nombres palindromes avec cn = c0 = 9 sauf Pt
3e catégorie : Elle comprend tous les autres nombres palindromes.

On peut répartir les nombres de la 3e catégorie en paires dont le total des deux nombres est Pt

Exemple pour t = 3.

1ère catégorie : 1 nombre

999

2e catégorie : 9 nombres

909

919

 

929

939

 

949

959

969

979

989

 

3e catégorie : 80 nombres

101

898

202

797

303

696

404

595

111

888

212

787

313

686

414

585

121

878

222

777

323

676

424

575

131

868

232

767

333

666

434

565

141

858

242

757

343

656

444

555

151

848

252

747

353

646

454

545

161

838

262

737

363

636

464

535

171

828

272

727

373

626

474

525

181

818

282

717

383

616

484

515

191

808

292

707

393

606

494

505

La somme du nombre écrit sur une case jaune et du nombre écrit sur la case blanche immédiatement à droite est toujours égale à  P3  = 999

 

4.- Suites de nombres palindromes.

Pour t donné, on peut obtenir des suites de 9 ou 10 nombres palindromes formant une progression arithmétique.

Il faut procéder comme cela est fait dans l’exemple suivant qui considère le cas t = 5 c’est- à dire les nombres palindromes écrits avec 5 chiffres comme ci-dessous

c0 · 104 + c 1 · 103  + c2  ·102  + c1 · 10 + c0

Si c0 prend successivement les valeurs 1, 2, …, 9, c1 et c2 restant inchangés,
on obtient 100 suites de 9 nombres en progression arithmétique de raison 10001.

Si c1 prend successivement les valeurs 0, 1, …, 9, c0 et c2 restant inchangés,
on obtient 90 suites de 10 nombres en progression arithmétique de raison 1010.

Si c3 prend successivement les valeurs 0, 1, …, 9, c0 et c2 restant inchangés,
on obtient 90 suites de 10 nombres en progression arithmétique de raison 100.

t = 5

Conditions pour que le nombre
soit palindrome :

c0 = c4

c1 = c3

c0 de 1 à 9

c0 = 2

c0 = 2

c1 = 7

c1 de 0 à 9

c1 = 7

c2 = 4

c2 = 4

c2 de 0 à 9

 

20402

27072

17471

21412

27172

27472

22422

27272

37473

23432

27372

47474

24442

27472

57475

25452

27572

67476

26462

27672

77477

27472

27772

87478

28482

27872

97479

29492

27972

Raison de la progression arithmétique

10001

1010

100

On remarque que le tableau ci-dessus contient 27 nombres palindromes différents car 27472 y figure trois fois. Cela est toujours le cas quels que soient les valeurs attribuées c0, c1 et c2. Le tableau de la page suivante compare les cas de 27472 et de 85658.

27472

85658

c0 = 2

c'0 = 8

c1 = 7

c'1 = 5

c2 = 4

c'2 = 6

On peut faire le tableau comparatif suivant :

t = 5

Conditions pour que le nombre

soit palindrome

c'0 = c'4

C'1 = c'3

c'0 de 1 à 9

c'0 = 8

c'0 = 8

c'1 = 5

c'1 de 0 à 9

c'1 = 5

c'2 = 6

c'2 = 6

c'2 de 0 à 9

 

80508

85058

15651

81518

85158

26552

82528

85258

35653

83538

85358

45654

84548

85458

55655

85558

85558

65656

86568

85658

75657

87578

85758

85658

88588

85858

95659

89598

85958

Raison de la progression arithmétique

10001

1010

100

 

Position de 27472 er de 85658 dans leur tableau  respectif :

Nombre

1ère col.

2e col.

3e col.

27472

8e ligne

3e ligne

6e ligne

85658

2e ligne

5e ligne

4e ligne

Les colonnes sont numérotées de gauche à droite

Les lignes sont numérotées de bas en haut

Relations entre les positions des nombres dans le tableau et les valeurs de c0 , c1 , c2, c’0 , c’1 et c’2 :

c0 = 2

c'0 = 8

c'0 = c0 + 82

c1 = 7

c'1 = 5

c'1 = c1 + 35

c2 = 4

c'2 = 6

c'2 = c2 + 64

5.- Nombres symétriques et nombres palindromes.

Le nombre N’ est dit symétrique du nombre N si

N = cn · 10n + c n-1 · 10n-1 + cn-2·10n-2 + … + c1 · 10 + c0
N’= c0· 10n + c1 · 10n-1 + c2·10n-2 + … + c1n-1 · 10 + cn

Exemple
Nombre de 5 chiffres : t = 5 ; n = 4
N = 40’132     N’ = 23’104
c0 = 2, c1 = 3, c2 = 1, c3 = 0, c4 = 4
N + N’ = 63’236

Si donc N’ est le nombre symétrique de N, N est le nombre symétrique de N’
Si N est un nombre palindrome, il est le symétrique de lui-même.

Soit maintenant,
N = c4 · 104 + c3 · 103  + c2  ·102  +c1 · 10 + c0
N’ = c0 · 104 + c1 · 103  + c2  ·102  +c3 · 10 + c4
N + N’ = (c4  + c0 ) · 104 + (c3 + c1) · 103  + (c2 + c2) · 102 + (c1 + c3) · 10  + ( c0 + c4)

La somme N + N’ sera un nombre palindrome si es inégalités suivantes sont respectées :

1 ≤ c4 + c0 ≤ 9, 0 ≤ c3 + c1 ≤ 9,  0 ≤ 2 c2 ≤ 9

Exemple
En reprenant l’exemple ci-dessus qui respecte les inégalités, on a :
N + N’ = 40'132 + 23'104 = 63’236

On peut inverser la façon de procéder et chercher, pour un nombre palindrome donné, de quels nombres symétriques il est la somme.

Exemple
Soit 42'624 le nombre palindrome donné.
Il vient :
c4  + c0 =  4
c3 + c1 = 2
2 · c2 = 6
Compte tenu des nombres entiers positifs (et nuls pour c3 + c1 = 2) qui sont des solutions des équations ci-dessus, on peut trouver les nombres symétriques dont la somme est le nombre palindrome 42'624.


Nombres symétriques

Somme

10323

32301

42624

20322

22302

42624

30321

12303

42624

11313

31311

42624

21312

21312

42624

A noter que, sur la dernière ligne du tableau, les nombres symétriques sont deux nombres palindromes égaux.

On peut reprendre ce qui est dit ci-dessus pour des nombres dont le nombre t de chiffres est quelconque.
On notera ce faisant que, pour t impair, le chiffre de rang t-1/2 du nombre palindrome doit être pair. Si cette condition n’est pas remplie, le nombre palindrome ne peut pas être exprimé comme la somme de deux nombres symétriques.

En revanche, on peut établir que la somme de deux nombres symétriques est toujours égale à la somme de deux nombres palindromes (différents ou égaux).

Nous nous bornerons à quelques exemples.

Exemples

Nombres symétriques

Nombres palindromes

Totaux

152

251

151

252

403

7321

1237

2222

6336

8558

42817

71824

90909

23732

114641

Dans ce tableau, une seule paire de nombres palindrome est indiquée alors que plusieurs peuvent être possibles.